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Was ist ein Fraktal?

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Was ist eigentlich ein Fraktal?

Fraktal ist ein vom Mathematiker Benoît Mandelbrot 1975 geprägter Begriff (lateinisch fractus ‚gebrochen‘, von lateinisch frangere‚ (in Stücke zer-) ‚brechen‘), der bestimmte natürliche oder künstliche Gebilde oder geometrische Muster bezeichnet.

Diese Gebilde oder Muster besitzen im Allgemeinen keine ganzzahlige Hausdorff-Dimension, sondern eine gebrochene – daher der Name – und weisen zudem einen hohen Grad von Skaleninvarianz bzw. Selbstähnlichkeit auf. Das ist beispielsweise der Fall, wenn ein Objekt aus mehreren verkleinerten Kopien seiner selbst besteht. Geometrische Objekte dieser Art unterscheiden sich in wesentlichen Aspekten von gewöhnlichen glatten Figuren.

In der Mathematik ist die fraktale Dimension einer Menge eine Verallgemeinerung des Dimensionsbegriffs von geometrischen Objekten wie Kurven (eindimensional) und Flächen (zweidimensional), insbesondere bei Fraktalen. Das Besondere ist, dass die fraktale Dimension keine ganze Zahl sein muss. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, eine fraktale Dimension zu definieren.

In der traditionellen Geometrie ist eine Linie eindimensional, eine Fläche zweidimensional und ein räumliches Gebilde dreidimensional. Für die fraktalen Mengen lässt sich die Dimensionalität nicht unmittelbar angeben: Führt man beispielsweise eine Rechenoperation für ein fraktales Linienmuster tausende von Malen fort, so füllt sich mit der Zeit die gesamte Zeichenfläche (etwa der Bildschirm des Computers) mit Linien, und das eindimensionale Gebilde nähert sich einem zweidimensionalen.

Mandelbrot benutzte den Begriff der verallgemeinerten Dimension nach Hausdorff und stellte fest, dass fraktale Gebilde meist eine nicht-ganzzahlige Dimension aufweisen. Sie wird auch als fraktale Dimension bezeichnet. Daher führte er folgende Definition ein:

Ein Fraktal ist eine Menge, deren Hausdorff-Dimension größer ist als ihre Lebesgue’sche Überdeckungsdimension.

Jede Menge mit nicht-ganzzahliger Dimension ist also ein Fraktal. Die Selbstähnlichkeit kann aber auch nur im statistischen Sinn bestehen, man spricht dann von Zufallsfraktalen.

Dann kam der Computer...

Die ersten computergrafischen Darstellungen wurden 1978 von Robert Brooks und Peter Matelski vorgestellt. 1980 veröffentlichte Benoît Mandelbrot eine Arbeit über das Thema.

In den frühen 1980er-Jahren bauten der Mathematiker Heinz-Otto Peitgen und sein Physikerkollege Peter Richter ein Labor für Computergrafik in Bremen auf. Heinz-Otto Peitgen erdachte ein Verfahren, um die Schwarzweiß-Bilder von Benoît Mandelbrot bunt zu machen. Weite Verbreitung fanden die schönen Bilder mit dem Aufkommen der günstigen Heimcomputer wie dem C64, auf dem 1987 das Programm "Julia" von Franz Dreismann erschien. Damit konnten innerhalb einiger Stunden - meist über Nacht - zu Hause derartige Bilder erzeugt werden.

Erstmals war es hier auch möglich, eine räumliche Darstellung der Fraktale vorzunehmen, die Höhe der Fraktale wurde dabei durch die Anzahl der Iterationen bestimmt. Die Faszination nahm seinen Lauf, es folgten viele weitere Programme wie z.B. "Mandelbrot Constuction Set" oder "Fractint" später auf dem PC.

Im Jahr 2009 gelang es den Mathematikern Paul Nylander und Daniel White, durch eine sphärische Koordinatentransformation ein dreidimensionales Mandelbrot zu konstruieren. Diese Arbeit wurde unter anderem durch die Programmierer Krzysztof Marczak und "Jesse" verwendet, um die Programme Mandelbulber2 und Mandelbulb 3D zu erschaffen, mit denen heute Künstler, Fraktalinteressierte oder auch Mathematiker in die Welt der Fraktale eintauchen.

Geboren in der Mathematik und eigentlich sinnfrei

Häufig sind in der Natur Beispiele zu finden, die einem Fraktal ähneln. Es gibt jedoch Arbeiten wie die von Orly Shenker, die zum dem Schluss kommen, dass Fraktale endlose geometrische Formen sind. Daher wird argumentiert, dass ein angemessenes Verständnis des Konzepts des Fraktals nicht mit der Zuordnung einer fraktalen Struktur zu natürlichen Objekten vereinbar ist.

Zitat der Studie:

"Es wird eingeräumt, dass die fraktale Geometrie als nützliche grobe Annäherung verwendet werden kann, aber diese Tatsache hat keinen Einfluss auf die physikalische Theorie der natürlichen Formen."

Trotz dessen üben Fraktale eine ungebrochene Faszination auf viele Menschen aus. Immer wieder lassen neue Techniken und Formeln neue Dinge entstehen, immer wieder werden neue, kreative Formen und Berechnungen geschaffen - und niemand weiß wirklich, wohin die Reise führt.